التحويل تماثلي-رقمي

رأينا فيما سبق أن الإشارة الرقمية تتفوق على الإشارة التماثلية. الميول في هذه الأيام هو نحو تغيير الإشارة التماثلية إلى معطيات رقمية. نصف تقنيتين اثنتين في هذه الفقرات: تعديل ترميز النبضة Pulse Code Modulation PCM، وتعديل دلتا Delta Modulation DM. تعديل ترميز النبضة PCM وهي التقنية الأكثر شيوعاً في الترقيم Digitization (وهو تحويل إشارة تماثلية إلى معطيات رقمية). لمرمز الـ PCM ثلاث عمليات كما تظهر في الشكل التالي: أخذ العينات: تقسيم الإشارة التماثلية إلى عينات. التكميم: تكميم الإشارة المقسمة. الترميز: ترميز القيم المكمّمة كتيار من البتات.

أخذ العينات Sampling وهي الخطوة الأولى في PCM. تؤخذ عينة من الإشارة التماثلية كل T_s ثانية، حيث T_s هي الفاصل الزمني بين عينة وأخرى أو الدور. مقلوب فاصل أخذ العينات يسمى معدل أخذ العينات أو تردد أخذ العينات ويشار إليه بـ f_s حيث f_s=1/T_s. هناك ثلاث طرق لأخذ العينات: مثالية وطبيعية وقمة-مسطحة، كما يظهر في الشكل التالي:

في أخذ العينات المثالي، تقسم نبضات الإشارة التماثلية إلى عينات. لا يمكن تنفيذها بسهولة. في أخذ العينات الطبيعي، تغلق قاطعة عالية السرعة لفترة قصيرة من الزمن لحظة أخذ العينة. والنتيجة هي سلسلة من العينات التي تحافظ على شكل الإشارة التماثلية. الطريقة الأكثر شيوعاً في أخذ العينات تسمى: خذ العينة وتوقف، ولكنها تنشئ عينات مسطحة القمة باستخدام دارة. يشار أحياناً إلى عملية أخذ العينات بـ تعديل مطال النبضة Pulse Amplitude Modulation (PAM). علينا أن نتذكر على أية حال أن النتيجة مازالت إشارة تماثلية بقيم غير صحيحة. معدل (أو تردد) أخذ العينات وهو أحد الاعتبارات الهامة. ما هي القيود على T_s؟ أجيب عن هذا السؤال بذكاء من قبل نكويست. وفقاً لنظرية نكويست، لإعادة إنتاج الإشارة التماثلية الأصلية، هناك شرط ضروري وهو أن يكون معدل أخذ العينات على الأقل ضعفي أعلى تردد في الإشارة الأصلية. لنوضح النظرية قليلاً عند هذه النقطة: أولاً، يمكننا أخذ عينات للإشارة فقط إذا كانت الإشارة محدودة الحزمة. بعبارة أخرى، لا يمكن أخذ عينات لإشارة بعرض حزمة غير محدود. ثانياً، يجب أن يكون معدل أخذ العينات على الأقل ضعفي أعلى تردد، وليس عرض الحزمة. إذا كانت الإشارة التماثلية ذات تمرير منخفض low-pass، فإن عرض الحزمة وأعلى تردد لهما القيمة نفسها. إذا كانت الإشارة التماثلية ذات تمرير حزمة bandpass (عادي)، فإن لعرض الحزمة قيمة أقل من قيمة التردد الأعلى. يظهر الشكل التالي قيمة معدل أخذ العينات لنوعين من الإشارات:

مثال: لعرض مثال بديهي عن نظرية نكويست، لنأخذ عينات من موجة جيبية بسيطة عند ثلاثة معدلات: f_s=4f (ضعفي معدل نكويست)، f_s=2f (معدل نكويست)، f_s=f (نصف معدل نكويست). يظهر الشكل التالي أخذ العينات وما يليه من استعادة الإشارة.

يمكن رؤية أن أخذ العينات عند معدل نكويست ينشئ تقريباً جيداً للموجة الجيبية الأصلية (القسم a). أخذ عينات إضافية كما في القسم b يمكن أيضاً أن ينشئ التقريب نفسه، لكنه إسراف وغير ضروري. أخذ العينات عند معدل تحت معدل نكويست (القسم c) لا ينتج إشارة تشبه الموجة الأصلية. مثال: لإشارة تمرير حزمة معقدة عرض حزمة قدره 200 kHz. ما هو معدل أخذ العينات الأدنى لهذه الإشارة؟ الجواب: لا يمكننا إيجاد المعدل الأدنى لأخذ العينات في هذه الحالة، لأننا لا نعلم أين يبدأ عرض الحزمة وأين ينتهي. ولا نعلم التردد الأعظم في الإشارة. التكميم نتيجة أخذ العينات هي سلسلة من النبضات بمطالات قيمها بين القيمة العظمى وبين القيمة الدنيا للإشارة. قد تكون مجموعة المطالات غير محدودة وقيمها غير صحيحة (عشرية) بين الحدين. ولا يمكن استخدام هذه القيم في عملية الترميز. خطوات التكميم هي: نفترض أن الإشارة التماثلية الأصلية لها مطالات لحظية بين V_min و V_max. نقسّم المجال إلى L منطقة، كل منها لها الطول Δ (delta): Δ=(V_max-V_min)/L نسند قيماً مكمّمة من 0 إلى L-1 إلى نقطة الوسط لكل منقطة. نقرب قيمة مطال العينة إلى القيم المكممة. كمثال بسيط، لنفترض أن لدينا إشارة مأخوذ منها عينات، ومطالات العينة تترواح بين -20 و +20 فولط. نقرر أننا نحتاج ثمانية مستويات (L=. هذا يعني أن Δ=5 V. يوضح الشكل التالي هذا المثال:

أظهرنا تسع عينات فقط باستخدام الطريقة المثالية (للتبسيط). القيمة عند قمة كل عينة في الرسم البياني تظهر المطال الحقيقي. في الرسم، يوجد في السطر الأول القيم المستنظمة لكل عينة (المطال\دلتا الحقيقي). تختار عملية التكميم قيمة التكميم من وسط كل منطقة. هذا يعني أن القيم المستنظمة المكممة (السطر الثاني) مختلفة عن المطالات المستنظمة. يسمى الفرق بين القيم المستنظمة والقيم المكممة المستنظمة بـ الخطأ المستنظم (السطر الثالث). يحتوي السطر الرابع على رمز التكميم لكل عينة بناءً على مستويات التكميم على يسار الرسم البياني. الكلمات المرمزة (السطر الخامس) هي النتائج النهائية للتحويل. مستويات التكميم أظهرنا في المثال السابق ثمانية مستويات للتكميم. يعتمد اختيار L، عدد المستويات، على مجال مطالات الإشارة التماثلية وعلى الدقة المطلوبة في استرجاع الإشارة. إذا تذبذب مطال الإشارة بين قيمتين فقط، سنحتاج لمستويين فقط. إذا كان للإشارة قيم مطالات متعددة (كإشارة الصوت) سنحتاج للمزيد من مستويات التكميم. في ترقيم الصوت، يتم اختيار L عادة ليكون L=256. في الفيديو تكون عادة بالآلاف. اختيار مستويات أدنى من L يزيد من خطأ التكميم إذا كان هناك الكثير من التذبذب في الإشارة. خطأ التكميم وهي أحد القضايا المهمة في عملية التكميم. عملية التكميم عملية تقريبية، فالقيم المدخلة إلى المُكمّم هي القيم الحقيقية، والقيم الخارجة هي قيم تقريبية. يتم اختيار قيم الخرج لتكون قيم منتصف المنطقة. إذا كانت قيم الدخل هي أيضاً في منتصف المنطقة، فلا يوجد خطأ في التكميم، وإلا فإنّ هناك خطأً. في المثال السابق، المطال المستنظم للعينة الثالثة هو 3.24، لكن القيمة المكممة المستنظمة له هي 3.50. هذا يعني أن هناك خطأً بـ +0.26. قيمة الخطأ لأي عينة هي أقل من Δ/2. بعبارة أخرى، لدينا: -Δ/2<error<Δ/2 يُغير خطأ التكميم نسبة الإشارة إلى الضجيج الخاصة بالإشارة، وهذا بدوره يخفض الحد الأعلى للسعة وفقاً لشانون. يمكن إثبات أن مساهمة خطأ التكميم في SNR_dB لإشارة، تعتمد على عدد مستويات التكميم L، أو على عدد البتات في العينة n_b، كما تظهر المعادلة التالية: SNR_dB=6.02n_b+1.76 dB

مثال: ما هو الـ SNR_dB في المثال في الشكل الأخير؟ الجواب: يمكننا استخدام المعادلة لإيجاد التكميم. لدينا ثمانية مستويات و3 بتات بالعينة، إذاً: SNR_dB=6.02(3)+1.76=19.82 dB زيادة عدد المستويات، تزيد الـ SNR. مثال: يجب على خط الاتصال الهاتفي أن يملك SNR_dB فوق 40. ما هو عدد البتات الأدنى في العينة؟ الجواب: يمكننا حساب عدد البتات كما يلي: SNR_dB=6.02(n_b )+1.76=40⇒n_b=6.35 تسند شركات الهاتف عادةً 7 أو 8 بتات بالعينة. الترميز وهي آخر خطوة في PCM. بعد تكميم كل عينة، وتحديد عدد البتات في العينة، يمكن تحويل كل عينة إلى رمز كلمة nb-bit. في الشكل الأخير، تظهر الكلمات المرمزة في السطر الأخير. يرمز رمز تكميم من 2 كـ 010، ومن 5 كـ 101، وهكذا. لاحظ أن عدد البتات لكل عينة يُحدَّد من عدد مستويات التكميم. إذا كان عدد مستويات التكميم هو L فإن عدد البتات هو n_b=log_2⁡L. في مثالنا، L=8، إذاً n_b=3. يمكن إيجاد معدل البتات من المعادلة: Bit rate=sampling rate×number of bits per sample=f_s×n_b مثال: نريد ترقيم صوت الإنسان. ما هو معدل البتات، بفرض أن لدينا 8 بتات بالعينة؟ الجواب: يحتوي صوت الإنسان عادة ترددات من 0 إلى 4000 Hz. لذا يمكن حساب معدل أخذ العينات ومعدل البتات كما يلي: Sampling rate=4000×2=8000 samples/s Bit rate=8000×8=64,000 bps=64 kbps









مع تحياتي لكم